分块，一种优美的暴力

分块在时间上跟线段树差不多快，空间上优于线段树

分块还可以解决许多线段树不能解决的问题

而且因为分块是一种线性结构，所以分块算法更易理解

不仅如此，分块甚至可以在许多题目当中骗到可观的分数，是我等蒟蒻最喜爱的暴力算法之一

词语解释

区间：数列中连续一段的元素

区间操作：将某个区间`[a,b]`的所有元素进行某种改动的操作

块：我们将数列划分成若干个不相交的区间，每个区间称为一个块

整块：在一个区间操作时，完整包含于区间的块

不完整的块：在一个区间操作时，只有部分包含于区间的块，即区间左右端点所在的两个块

核心思想

将长度为`n`的序列分成长度为`m`的块，共`\frac{n}{m}`块

通常情况下，取`m=\sqrt{n}`

为了方便维护

设belong[i]为第i个位置所在的块

设left[i]为第i个块的左边界

设right[i]为第i个块的右边界

区间修改

对于整块，将整个块打上Lazy-Tag

对于不完整的块，直接暴力修改

时间复杂度`\mathcal{O}(\sqrt{n})`

构造分块

以下为构造分块的基本模板

void init()
{
	size = sqrt(n); //块的大小
	num = n / block; //块的数量
	//处理序列末尾的不完整的块
	if (n % block)
		num++;
	//处理每一个块的左右边界
	for (int i = 1; i <= num; i++)
	{
		l[i] = (i - 1) * size + 1;
		r[i] = i * size;
	}
	r[num] = n;
	//处理每一个位置所在的块
	for (int i = 1; i <= n; i++)
		belong[i] = (i - 1) / size + 1;
}

例题

[Luogu P3372] 【模板】线段树 1

题意

给定一个长度为n的数列

在线操作

1．将某区间每一个数加上x

2．求出某区间每一个数的和

分析

区间修改

同时维护lazy[i]和sum[i]

lazy[i]代表第i个块的每一个数都加上lazy[i]

sum[i]代表第i个块的和

时间复杂度`\mathcal{O}(\sqrt{n})`

区间查询

`\mathcal{O}(\sqrt{n})`查询即可

代码

#include <math.h>
#include <stdio.h>

typedef long long ll;
#define Rep(i, x, y) for (register int i = x; i <= y; i++)

const int N = 1e5;
const int BLOCKSIZE = 317;

int n, m;

struct Block
{
    int num, size;
    ll a[N + 5], belong[N + 5];
    ll lazy[BLOCKSIZE + 5], sum[BLOCKSIZE + 5];
    int l[BLOCKSIZE + 5], r[BLOCKSIZE + 5];
    void init()
    {
        size = sqrt(n);
        num = n / size;
        if (n % size)
            num++;
        Rep(i, 1, num)
        {
            l[i] = (i - 1) * size + 1;
            r[i] = i * size;
        }
        r[num] = n;
        Rep(i, 1, n)
        {
            belong[i] = (i - 1) / size + 1;
            sum[belong[i]] += a[i];
        }
    }
    void modify(int x, int y, int num)
    {
        if (belong[x] == belong[y])
            Rep(i, x, y)
            {
                a[i] += num;
                sum[belong[i]] += num;
            }
        else
        {
            Rep(i, x, r[belong[x]])
            {
                a[i] += num;
                sum[belong[i]] += num;
            }
            Rep(i, l[belong[y]], y)
            {
                a[i] += num;
                sum[belong[i]] += num;
            }
            Rep(i, belong[x] + 1, belong[y] - 1)
            {
                lazy[i] += num;
                sum[i] += num * size;
            }
        }
    }
    ll query(int x, int y)
    {
        ll ans = 0;
        if (belong[x] == belong[y])
            Rep(i, x, y)
                ans += a[i] + lazy[belong[i]];
        else
        {
            Rep(i, x, r[belong[x]])
                ans += a[i] + lazy[belong[i]];
            Rep(i, l[belong[y]], y)
                ans += a[i] + lazy[belong[i]];
            Rep(i, belong[x] + 1, belong[y] - 1)
                ans += sum[i];
        }
        return ans;
    }
} block;

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    Rep(i, 1, n)
        scanf("%lld", &block.a[i]);
    block.init();
    Rep(i, 1, m)
    {
        int opt;
        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1)
        {
            int x, y, num;
            scanf("%d%d%d", &x, &y, &num);
            block.update(x, y, num);
        }
        if (opt == 2)
        {
            int x, y;
            scanf("%d%d", &x, &y);
            printf("%lld\n", block.query(x, y));
        }
    }
    return 0;
}