分块

分块,一种优美的暴力

分块在时间上跟线段树差不多快,空间上优于线段树

分块还可以解决许多线段树不能解决的问题

而且因为分块是一种线性结构,所以分块算法更易理解

不仅如此,分块甚至可以在许多题目当中骗到可观的分数,是我等蒟蒻最喜爱的暴力算法之一

词语解释

区间:数列中连续一段的元素

区间操作:将某个区间`[a,b]`的所有元素进行某种改动的操作

块:我们将数列划分成若干个不相交的区间,每个区间称为一个块

整块:在一个区间操作时,完整包含于区间的块

不完整的块:在一个区间操作时,只有部分包含于区间的块,即区间左右端点所在的两个块

核心思想

将长度为`n`的序列分成长度为`m`的块,共`\frac{n}{m}`块

通常情况下,取`m=\sqrt{n}`

为了方便维护

belong[i]为第i个位置所在的块

left[i]为第i个块的左边界

right[i]为第i个块的右边界

区间修改

对于整块,将整个块打上Lazy-Tag

对于不完整的块,直接暴力修改

时间复杂度`\mathcal{O}(\sqrt{n})`

构造分块

以下为构造分块的基本模板

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void init()
{
size = sqrt(n); //块的大小
num = n / block; //块的数量
//处理序列末尾的不完整的块
if (n % block)
num++;
//处理每一个块的左右边界
for (int i = 1; i <= num; i++)
{
l[i] = (i - 1) * size + 1;
r[i] = i * size;
}
r[num] = n;
//处理每一个位置所在的块
for (int i = 1; i <= n; i++)
belong[i] = (i - 1) / size + 1;
}

例题

[Luogu P3372] 【模板】线段树 1

题意

给定一个长度为n的数列

在线操作

1.将某区间每一个数加上x

2.求出某区间每一个数的和

分析

区间修改

同时维护lazy[i]sum[i]

lazy[i]代表第i个块的每一个数都加上lazy[i]

sum[i]代表第i个块的和

时间复杂度`\mathcal{O}(\sqrt{n})`

区间查询

`\mathcal{O}(\sqrt{n})`查询即可

代码

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#include <math.h>
#include <stdio.h>

typedef long long ll;
#define Rep(i, x, y) for (register int i = x; i <= y; i++)

const int N = 1e5;
const int BLOCKSIZE = 317;

int n, m;

struct Block
{
int num, size;
ll a[N + 5], belong[N + 5];
ll lazy[BLOCKSIZE + 5], sum[BLOCKSIZE + 5];
int l[BLOCKSIZE + 5], r[BLOCKSIZE + 5];
void init()
{
size = sqrt(n);
num = n / size;
if (n % size)
num++;
Rep(i, 1, num)
{
l[i] = (i - 1) * size + 1;
r[i] = i * size;
}
r[num] = n;
Rep(i, 1, n)
{
belong[i] = (i - 1) / size + 1;
sum[belong[i]] += a[i];
}
}
void modify(int x, int y, int num)
{
if (belong[x] == belong[y])
Rep(i, x, y)
{
a[i] += num;
sum[belong[i]] += num;
}
else
{
Rep(i, x, r[belong[x]])
{
a[i] += num;
sum[belong[i]] += num;
}
Rep(i, l[belong[y]], y)
{
a[i] += num;
sum[belong[i]] += num;
}
Rep(i, belong[x] + 1, belong[y] - 1)
{
lazy[i] += num;
sum[i] += num * size;
}
}
}
ll query(int x, int y)
{
ll ans = 0;
if (belong[x] == belong[y])
Rep(i, x, y)
ans += a[i] + lazy[belong[i]];
else
{
Rep(i, x, r[belong[x]])
ans += a[i] + lazy[belong[i]];
Rep(i, l[belong[y]], y)
ans += a[i] + lazy[belong[i]];
Rep(i, belong[x] + 1, belong[y] - 1)
ans += sum[i];
}
return ans;
}
} block;

int main()
{
scanf("%d%d", &n, &m);
Rep(i, 1, n)
scanf("%lld", &block.a[i]);
block.init();
Rep(i, 1, m)
{
int opt;
scanf("%d", &opt);
if (opt == 1)
{
int x, y, num;
scanf("%d%d%d", &x, &y, &num);
block.update(x, y, num);
}
if (opt == 2)
{
int x, y;
scanf("%d%d", &x, &y);
printf("%lld\n", block.query(x, y));
}
}
return 0;
}
# 分块

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